Mittwoch, 18. Oktober 2017

Numerische Methoden

Viele Probleme der Statik und Dynamik entziehen sich einer geschlossenen Lösung. In solchen Fällen greift man zu numerischen Verfahren. Diese lassen sich ganz grob in folgende Bereiche aufteilen:

 

  • Numerische Behandlung
    d.h. Integration einer Funktion oder Differentialgleichung (z.B. mit den Verfahren von Gauss-Legendre oder Runge-Kutta) Für Windberechnungen sind solche Verfahren bei der Auswertung von Leistungsspektren oder ähnlichem gebräuchlich.

  • Finite Elemente
    Die Lösung wird durch eine Näherung einfacher Funktionen mit n Freiwerten ersetzt, die dann über das Minimum eines Funktionals (Energie, Fehlerquadrate oder ähnliches) bestimmt werden. Dazu gehört auch das klassische Ritz-Verfahren gebräuchlich sind bei Finite-Element-Systemen jedoch mehrere tausend Freiheitsgraden die als Verschiebungen oder Geschwindigkeiten in den Knoten eines Netzes einfacher regulärer Körper gegeben sind. FE-Methoden sind vor allem in der Strukturmechanik verbreitet, aber auch für Strömungsmechanik anwendbar.

  • Finite Volumen
    Bei dieser Methode wird das Gebiets durch ein Netz von Kontrollvolumen beschrieben, bei denen die unbekannten Freiwerte in der Regel die physikalischen Zustandsgrößen im Zentrum jedes Volumes sind. Die zugehörigen Gleichungen ergeben aus den Kontinuitätsbedingungen. Die meisten Programme zur Berechnung von Fluid-Strömungen benutzen diese Methode.

  • Rand-Elemente
    Hier erfolgt der Ersatz der geschlossenen Lösung durch eine Näherung mit Fundamental-Funktionen, die alle Differentialgleichungen exakt erfüllen, Die Freiwerte werden über eine Näherung und gewichtete Erfüllung der Randbedingungen ermittelt. Der Vorteil dieser Integralgleichungsverfahren liegt in der leichten Erfassung von unendlichen Berechnungsgebieten. Im Bereich der Windberechnungen ist hier die Vortex-Partikel-Methode vor allem im Brückenbau ein Beispiel.

 

Mehrkörpersysteme


Für die Behandlung größerer Systeme hat man grundsätzlich die Möglichkeit, alles im Zeitbereich zu rechnen. Man löst die Bewegungsgleichungen für alle Unbekannte über eines der klassischen Integrationsverfahren (Newmark, Wilson-Q, Hughes-a). Dafür müssen alle Belastungen dann ebenfalls als Zeitreihen vorliegen, man muss also Wind oder Erdbebenbelastungen aus den vorgegebenen Spektren in äquivalente zufällig erzeugte diskrete Funktionen umwandeln. Die Alternative ergibt sich als Lösung im Frequenzbereich, dazu benötigt man die Eigenfrequenzen und Eigenformen der Struktur wobei in vielen Fällen ein kleiner Teil der Eigenfrequenzen ausreicht um das wesentliche Verhalten des Tragwerks zu beschreiben. Große numerische Vorteile gewinnt man außerdem dadurch, dass die Gleichungen der einzelnen Eigenformen entkoppelt werden. Die gesamte Lösung erhält man durch entsprechende Überlagerung der Werte der einzelnen Eigenformen.

Die zweite Methode ist mathematisch sehr viel eleganter, vor allem wenn man im komplexen rechnet, ein Nachteil entsteht jedoch dadurch, dass nichtlineare Effekte sehr viel schwieriger zu berücksichtigen sind.

 

Seite aktualisiert: Freitag, 17. Oktober 2014